Matematikos pagrindai
Lygtys. II dalis.
Kvadratinės lygtys:
ax2 + bx + c = 0
(Lygtyje kintamasis turi būti pakeltas kvadratu)
Bet kokios kvadratinės lygties sprendimas įrankyje 'kvadratinė lygtis':
Pvz.
x2 + 3x + 2 = 0
a = 1; b = 3; c = 2;
-x2 + 5x - 6 = 0
a = -1; b = 5; c = -6;
x2 + 3x + 2 = 0
a = 1; b = 3; c = 2;
-x2 + 5x - 6 = 0
a = -1; b = 5; c = -6;
Kvadratines lygtis galima spręsti pagal diskriminantą
Diskriminantas D = b2 - 4ac
Šaknų formulė:
Jei D < 0, šaknų nėra
Jei D = 0, yra viena šaknis
Jei D > 0, tai šaknys randamos pagal formules:
Pavyzdys
Pvz.
x2 + 3x + 2 = 0
a = 1; b = 3; c = 2;
D=b2-4ac = 3^2 - 4*1*2 = 1
D > 0, lygtis turi dvi šaknis :
x = (-b- √(D))/(2a) =
= (-3- √(1))/(2*1)=
= (-3 - √(1))/2 =
= -2
x = -2
x = (-b+ √(D))/(2a) =
= (-3+ √(1))/(2*1) =
= (-3 + √(1))/2 =
= -1
x = -1
x2 + 3x + 2 = 0
a = 1; b = 3; c = 2;
D=b2-4ac = 3^2 - 4*1*2 = 1
D > 0, lygtis turi dvi šaknis :
x = (-b- √(D))/(2a) =
= (-3- √(1))/(2*1)=
= (-3 - √(1))/2 =
= -2
x = -2
x = (-b+ √(D))/(2a) =
= (-3+ √(1))/(2*1) =
= (-3 + √(1))/2 =
= -1
x = -1
Pavyzdys 2
Pvz. 2
-x2 + 5x + 6 = 0
a = -1; b = 5; c = 6;
D=b2-4ac = 5^2 - 4*(-1)*6 = 49
D > 0, lygtis turi dvi šaknis :
x = (-b- √(D))/(2a)
= (-5- √(49))/(2*(-1))
= (-5 - 7)/-2
= 6
x = 6
x = (-b+ √(D))/(2a)
= (-5+ √(49))/(2*(-1))
= (-5 + 7)/-2
= -1
x = -1
-x2 + 5x + 6 = 0
a = -1; b = 5; c = 6;
D=b2-4ac = 5^2 - 4*(-1)*6 = 49
D > 0, lygtis turi dvi šaknis :
x = (-b- √(D))/(2a)
= (-5- √(49))/(2*(-1))
= (-5 - 7)/-2
= 6
x = 6
x = (-b+ √(D))/(2a)
= (-5+ √(49))/(2*(-1))
= (-5 + 7)/-2
= -1
x = -1
Lygties suvedimas į kvadratinę:
Dažnai pasitaiko lygčių, kur iš pradžių nesimato, kvadratinė tai lygtis ar ne
Pvz.
1/x + x - 2 = 0
Pirmoje dalyje (Lygtis (1)) buvo minėtas patarimas:
Jei kintamasis yra vardiklyje, reikia padauginti abi puses iš to kintamojo
Pvz.
1/x + x - 2 = 0 / *x
Padauginus abi puses iš x, gaunasi
1 + x2 - 2x = 0
O tai yra kvadratinė lygtis
x2 - 2x + 1 = 0
1/x + x - 2 = 0 / *x
Padauginus abi puses iš x, gaunasi
1 + x2 - 2x = 0
O tai yra kvadratinė lygtis
x2 - 2x + 1 = 0
Jeigu kintamąjį galima iškelti prieš skliaustus, žymiai palengvėtų lygties sprendimas
Pvz. 2
x3 - 2x2 - 8x = 0
x iškeliamas prieš skliaustus:
x(x2 - 2x - 8) = 0
Skliaustuose kvadratinė lygtis