Matematikos pagrindai
Lygtys. III dalis.
Lygčių sistemos
Turinys
1. Sprendimas grafiniu būdu
2. Sprendimas keitimo būdu
3. Sprendimas sudėties būdu
1. Sprendimas grafiniu būdu
Nubrėžti grafikus ir pažiūrėti kur kertasi
Pavyzdys:
x+y=3
x2-xy=-1
Pirmos lygties grafikas: y=3-x
Antros lygties grafikas: y=x+1/x
Grafikai kertasi taškuose (0.5; 2.5) ir (1; 2)
x2-xy=-1
Pirmos lygties grafikas: y=3-x
Antros lygties grafikas: y=x+1/x
Grafikai kertasi taškuose (0.5; 2.5) ir (1; 2)
2. Sprendimas keitimo būdu
Keturi žingsniai:
a) Paprastesnėje lygtyje (tiesinėje) išsireiškiamas vienas kintamasis per kitą (nesvarbu kuris per kurį)
b) Gauta išraiška statoma į kitą lygtį
c) Išsprendžiama gauta lygtis (ji jau yra su vienu kintamuoju)
d) apskaičiuojama kito kintamojo reikšmė (pagal jau turimą išraišką)
b) Gauta išraiška statoma į kitą lygtį
c) Išsprendžiama gauta lygtis (ji jau yra su vienu kintamuoju)
d) apskaičiuojama kito kintamojo reikšmė (pagal jau turimą išraišką)
Pavyzdys:
x+y=3
x2-xy=-1
a) iš pirmos lygties išsireiškiamas y: y = 3 - x
b) gauta y išraiška statoma į antrą lygtį: x2-x(3 - x)=-1
c) išsprendžiama lygtis su vienu nežinomuoju:
x2-xy=-1
a) iš pirmos lygties išsireiškiamas y: y = 3 - x
b) gauta y išraiška statoma į antrą lygtį: x2-x(3 - x)=-1
c) išsprendžiama lygtis su vienu nežinomuoju:
x2-3*x+ x2 = -1
2*x2-3*x+1 = 0
D=b2-4ac = (-3)2 - 4*2*1 = 1
x=0.5 arba x = 1
d) gautas x reikšmes satau į y išraišką y = 3 - x:
2*x2-3*x+1 = 0
D=b2-4ac = (-3)2 - 4*2*1 = 1
x=0.5 arba x = 1
kai x = 0.5: y = 3 - 0.5 = 2.5
kai x = 1: y = 3 - 1 = 2
Ats.: (0.5;2.5) ir (1;2)
kai x = 1: y = 3 - 1 = 2
3. Lygčių sistemos sprendimas sudėties būdu
Sprendžiant lygčių sistemą keitimo būdu, kartais išsireikšti vieną kintamajį
per kitą yra gana sunku arba išvis neįmanoma.
Sprendimas sudėties būdu:
Viena arba abi lygtys padauginamos iš kokio nors skaičiaus(ių), taip, kad po to tas lygtis sudėjus, išnyktų kai kurie dėmenys.
Tada galima lengviau išsireikšti vieną kintamajį per kitą.
Toliau sprendimas vyksta beveik pagal tuos pačius žingsnius kaip ir keitimo būdu:
Sprendimas sudėties būdu:
Viena arba abi lygtys padauginamos iš kokio nors skaičiaus(ių), taip, kad po to tas lygtis sudėjus, išnyktų kai kurie dėmenys.
Tada galima lengviau išsireikšti vieną kintamajį per kitą.
Toliau sprendimas vyksta beveik pagal tuos pačius žingsnius kaip ir keitimo būdu:
a) Lygtyje, kuri gavosi sudėjus lygtis, išsireiškiamas vienas kintamasis per kitą (nesvarbu kuris per kurį)
b) Gauta išraiška statoma į kurią nors iš pradinių lygčių
c) Išsprendžiama gauta lygtis (ji jau yra su vienu kintamuoju)
d) apskaičiuojama kito kintamojo reikšmė (pagal jau turimą išraišką)
b) Gauta išraiška statoma į kurią nors iš pradinių lygčių
c) Išsprendžiama gauta lygtis (ji jau yra su vienu kintamuoju)
d) apskaičiuojama kito kintamojo reikšmė (pagal jau turimą išraišką)
Pavyzdys:
x + xy = 12
3y +xy = 25
Abiejose lygtyse randu po vieną dėmenį, kurie tarpusavyje yra panašūs. Geriausia ieškoti tokių dėmenų, kurie labiausiai trukdo - pačių sudėtingiausių.
Radau abiejose lygtyse po panašų dėmenį xy
x + xy = 12
3y +xy = 25
Kadangi lygtis noriu sudėti (dėl to šis būdas ir vadinamas sudėties), ir noriu kad sudėjus, šitie dėmenys išnyktų, todėl padauginu kurią nors vieną lygtį iš (-1)
x + xy = 12 / (-1)
3y +xy = 25
-x - xy = -12
3y +xy = 25
sudedu abi lygtis:
-x - xy +3y +xy = -12 + 25
3y-x = 13
Gaunasi paprastesnė lygtis (atsikratyta sudėtingiausio dėmens).
3y +xy = 25
-x - xy = -12
3y +xy = 25
sudedu abi lygtis:
-x - xy +3y +xy = -12 + 25
3y-x = 13
Gaunasi paprastesnė lygtis (atsikratyta sudėtingiausio dėmens).
Toliau seku jau minėtais 4 žingsniais (a, b, c,d ):
a) išsireiškiu x: x = 3y - 13
b) statau į antrą lygtį (3y +xy = 25)(pastaba: čia galima statyti į bet kurią lygtį, šiuo atveju patogesnė antroji)
3y +(3y - 13)y = 25
c) išsprendžiu šią lygtį (su vienu kintamuoju):
3y +(3y - 13)y = 25
3y + 3y2 - 13y = 25
3y2 - 10y - 25 = 0
D=b2-4ac = (-10)2 - 4*3*(-25) = 400
y = -5/3
ir
y = 5
3y + 3y2 - 13y = 25
3y2 - 10y - 25 = 0
D=b2-4ac = (-10)2 - 4*3*(-25) = 400
y = -5/3
ir
y = 5
d) gautas y reikšmes statau į x išraišką x = 3y - 13:
kai y = -5/3 , tai x = -18
kai y = 5, tai x = 2
kai y = 5, tai x = 2
Atsakymas: (-18; -5/3) ir (2;5)