Matematikos pagrindai
Lygtys. IV dalis.
Papildomi veiksmai/funkcijos,
pritaikytos visai(-oms) lygties pusei(-ėms):
Lygtyse dažnai pasitaiko papildomų matematinių veiksmų arba funkcijų, pvz sin, cos, šaknis, logaritmai.
Jeigu jie pritaikyti visai lygties pusei(-ėms), galima jų atsikratyti,
bet tada gali atsirasti papildomų apribojimų.
Turinys
1. Šaknies atsikratymas
2. Kvadrato atsikratymas
3. Logaritmo atsikratymas
4. Trigonometrinių funckijų atsikratymas
1. Šaknies atsikratymas
Jei kuriai lygties pusei (arba abiems pusėms) uždėta šaknis, kad jos atsikratyti, reikia abi lygties
puses pakelti kvadratu.
Pavyzdys
Pvz.
√x = 5
Pakėlus kvadratu gaunasi:
x = 25
√x = 5
Pakėlus kvadratu gaunasi:
x = 25
Apribojimas: tai kas buvo po šaknimi, visada turi būti nemažiau už nulį.
2. Kvadrato atsikratymas
Jei kuri lygties pusė (arba abi pusės) pakelta(-os) kvadratu, galima nuimti kvadratus (arba uždėti šaknis),
bet tada atsiranda dar viena lygtis, tik viena jos pusė su priešingu ženklu:
Pavyzdys
Pvz.
x2 = 25
Nuėmus kvadratus (arba uždėjus šaknis) gaunasi dvi lygtys:
x = 5
ir x = - 5 (atsirado dar viena lygtis , kur viena pusė su priešingu ženklu)
x2 = 25
Nuėmus kvadratus (arba uždėjus šaknis) gaunasi dvi lygtys:
x = 5
ir x = - 5 (atsirado dar viena lygtis , kur viena pusė su priešingu ženklu)
Papildoma sąlyga: atsiranda dar viena lygtis, kurioje viena pusė su priešingu ženklu.
3. Logaritmo atsikratymas
Jei abiems lygties pusėms uždėti logaritmai, ir jie vienodo pagrindo, galima jų atsikratyti:
Apribojimas: tai kas buvo (ar yra) po logaritmu, turi būti daugiau už nulį.
Pavyzdys
Pvz.
log2x = log25
Logaritmų pagrindai vienodi, todėl galima jų atsikratyti:
x = 5
Patikrinamas apribojimas: x turi būti daugiau už nulį.
log2x = log25
Logaritmų pagrindai vienodi, todėl galima jų atsikratyti:
x = 5
Patikrinamas apribojimas: x turi būti daugiau už nulį.
Jei logaritmų pagrindai skirtingi arba logaritmas yra tik vienoje pusėje, kitoje lygties pusėje galima pasidaryti tokio paties pagrindo logaritmą, ir po to, kai abi pusės jau su vienodo pagrindo logaritmais, juos nuimti.
Naudojantis pagrindine logaritmo tapatybe logaab = b,
iš bet kokio skaičiaus ar reiškinio galima pasidaryti bet kokio pagrindo logaritmą.
Pavyzdys
Pvz.
log2x =5
Pagal pagrindinę logaritmo tapatybę 5 = log225
log2x = log225
Logaritmų pagrindai vienodi, todėl galima logaritmų atsikratyti
x = 2 5
x = 32
Patikrinamas apribojimas: x turi būti daugiau už nulį.
log2x =5
Pagal pagrindinę logaritmo tapatybę 5 = log225
log2x = log225
Logaritmų pagrindai vienodi, todėl galima logaritmų atsikratyti
x = 2 5
x = 32
Patikrinamas apribojimas: x turi būti daugiau už nulį.
Pavyzdys
Pvz 2.
log2x = log35
Logaritmų pagrindai skirtingi, todėl dešinėje pusėje pasidarau logaritmą pagrindu 2:
Pagal pagrindinę logaritmo tapatybę: log35 = log22log35
log2x = log22log35
Logaritmų pagrindai vienodi, todėl galima logaritmų atsikratyti
x = 2log35
log2x = log35
Logaritmų pagrindai skirtingi, todėl dešinėje pusėje pasidarau logaritmą pagrindu 2:
Pagal pagrindinę logaritmo tapatybę: log35 = log22log35
log2x = log22log35
Logaritmų pagrindai vienodi, todėl galima logaritmų atsikratyti
x = 2log35
4. Trigonometrinių funckijų(sin, cos, tan, cot) atsikratymas
Atsikratant trigonometrinių funckijų, tereikia prisiminti, prie kokių kampų funckija įgyja reikšmę
Pavyzdys 2
Pvz.
sin(x + 1) = 1
Sinusas lygus 1, kai kampas yra pi + 2pi*k, čia k - sveikas skaičius:
atsikratoma sinuso:
x + 1 = pi + 2pi*k
x = pi - 1 + 2pi*k
sin(x + 1) = 1
Sinusas lygus 1, kai kampas yra pi + 2pi*k, čia k - sveikas skaičius:
atsikratoma sinuso:
x + 1 = pi + 2pi*k
x = pi - 1 + 2pi*k